Question

Відрізок DC - перпендикуляр до площини трикутника АВС. Знайдіть площу трикутника АDB, якщо <АСВ=90°, АС=5см, АВ=13см, а кут між площинами АВС і АВD дорівнює 45°.

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника ADB равна 30√2 см².

Объяснение:

Так как ∠ АСВ =90 °, то Δ АВС - прямоугольный.  АС= 5 см, АВ= 13 см. Найдем катет ВС по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

$BC^{2} =AB^{2} -AC^{2} ;\\BC= \sqrt{AB^{2} -AC^{2}} ;\\BC= \sqrt{13^{2}-5^{2} } =\sqrt{169-25} =\sqrt{144} =12$

BC= 12 см.

Найдем угол между плоскостями треугольников Δ АВС и ΔABD

Проведем высоту СМ  Δ АВС , проведенную к гипотенузе .

Значит, СМ ⊥ АВ.

Тогда по теореме о трех перпендикулярах DM⊥ AB

∠ DMC=45° - это угол между плоскостями треугольников.

Найдем высоту прямоугольного ΔАВС . Для этого надо произведение катетов разделить на гипотенузу .

$CM=\dfrac{AC\cdot BC}{AB } ;\\\\CM=\dfrac{5\cdot 12}{13 }=\dfrac{60}{13}$

Рассмотрим Δ DCM - прямоугольный ( DC - перпендикуляр к плоскости Δ АВС, а значит к любой прямой, лежащей в этой плоскости).

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катете к гипотенузе.

$cos 45^{0} =\dfrac{CM}{DM } ;\\\\\dfrac{\sqrt{2} }{2 } =\dfrac{CM}{DM } ;\\\\DM= \dfrac{60}{13} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2} } =\dfrac{60\sqrt{2} }{13}$

Найдем площадь Δ ADB следующим образом

$S= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot DM;\\\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot \dfrac{60\sqrt{2} }{13} =30\sqrt{2}$

Площадь треугольника равна 30√2 см².