Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна С. Найдите сумму квадратов медиан.

Answer 1

По свойствам прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе равняется половине гипотенузы, следовательно:
$m_c=frac{1}{2}c\m^2_c=frac{1}{4}c^2$
Две других медианы вычислим по теореме Пифагора:
$m^2_b=a^2+frac{1}{4}b^2\ m^2_a=frac{1}{4}a^2+b^2$
Таким образом, сумма квадратов медиан будет равна:
$m^2_a+m^2_b+m^2_c=frac{1}{4}a^2+b^2+a^2+frac{1}{4}b^2+frac{1}{4}c^2=\=c^2+frac{1}{4}*(a^2+b^2)+frac{1}{4}c^2=c^2+frac{1}{4}b^2+frac{1}{4}b^2=1frac{1}{2}c^2.$