Question

докажите что радиус одной из вневписанных окружностей равен полупериметру треугольника тогда и только тогда ,когда треугольник прямоугольный

Answer 1

Решение

Пусть вневписанная окружность (с центром O) треугольника ABC касается стороны AB в точке K, а продолжений сторон CA и CB — в точках L и M соответственно. Обозначим через p полупериметр треугольника. Тогда

2p = AB + BC + AC = (AK + KB) + BC + AC =

= (AL + BM) + BC + AC = (AL + AC) + (BM + BC) = CL + CM,

поэтому CL = CM = p.

Поскольку OL = OM = p, то четырёхугольник OLCM — ромб, а т.к. OL $ \perp$ CM, то это квадрат. Следовательно, $ \angle$ACB = 90o.