Question

Дан треугольник ABC, у которого ∠C=90°.

vpr_m_8_130.svg

Известно, что ctg∠B= 2021.

Найди AB, если AC=168.

Ответ:
.

Answer 1

Ответ:

• AB=232

Объяснение:

1 способ (более рациональный):

Найдем sin∠B из основного тригонометрического тождества: $\displaystyle 1+\mathrm{ctg}^2\angle B =\frac{1}{\sin^2\angle B}$, откуда $\displaystyle \boldsymbol{\sin\angle B}=\sqrt{\frac{1}{1+\mathrm{ctg}^2\angle B} } =\sqrt{\frac{1}{1+\big(\frac{20}{21}\big)^2 } } =\sqrt{\frac{1}{1+\frac{400}{441}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{841}{441} } } =\sqrt{\frac{441}{841} } =\boldsymbol{\frac{21}{29} }.$

• Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Тогда $\displaystyle \sin\angle B=\frac{AC}{AB}$, откуда $\displaystyle \boldsymbol{AB}=\frac{AC}{\sin \angle B} =\frac{168}{\frac{21}{29} } =\frac{168\cdot 29}{21} =8\cdot 29=\boldsymbol{232}.$

2 способ (нерациональный из-за надобности считать большие числа):

• Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

$\displaystyle \mathrm{ctg}\angle B=\frac{BC}{AC} =\frac{20}{21}$, откуда $\displaystyle \boldsymbol{BC}=\frac{20\cdot AC}{21}= \frac{20\cdot 168}{21}=8\cdot 20=\boldsymbol{160}.$

Тогда по т. Пифагора: $AB^2=AC^2+BC^2$, откуда $\displaystyle \boldsymbol{AB}=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{168^2+160^2}=\sqrt{28224+25600} =\sqrt{53824} =\boldsymbol{232}.$