Question

Докажите тождество:

Нужно решить №7А.16 и №7А.17

Всего 4 примера

Пожалуйста,с полным и подробным решением и объяснением 100 баллов!!!!!!!

Answer 1

Ответ:

7А.16

а)

$1 + {\ctg}^{2}( \alpha ) = 1 + \frac{ \cos {}^{2} ( \alpha ) }{ \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \\ = \frac{ \sin {}^{2} ( \alpha ) + \cos {}^{2} ( \alpha ) }{ \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \frac{1}{ \sin {}^{2} ( \alpha ) }$

В числителе основное тригонометрическое тождество:

$\sin {}^{2} ( \alpha ) + \cos {}^{2} ( \alpha ) = 1$

б)

$\frac{1}{ \sin {}^{2} ( \alpha ) } - 1 = \frac{1 - \sin {}^{2} ( \alpha ) }{ \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \\ = \frac{ \cos {}^{2} ( \alpha ) }{ \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \ctg {}^{2} ( \alpha )$

7А.17

а)

$\frac{ \sin {}^{2} ( \alpha ) }{ \sin {}^{2} ( \alpha ) - 1} \times \ctg {}^{2} (\alpha ) = \frac{ \sin {}^{2} ( \alpha ) }{ - (1 - \sin {}^{2} ( \alpha )) } \times \ctg {}^{2} (\alpha ) = \\ = - \frac{ \sin {}^{2} ( \alpha ) }{ \cos {}^{2} ( \alpha ) } \times \ctg {}^{2} (\alpha ) = - {\tg}^{2} ( \alpha ) \times \ctg {}^{2} ( \alpha ) = - 1 \\ \\ \tg( \alpha) \times \ctg( \alpha ) = 1$

б)

$\frac{\ctg (\alpha )}{tg( \alpha ) + \ctg( \alpha )} = \frac{\ctg( \alpha )}{ \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } + \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } } = \\ = \ctg( \alpha ) \times \frac{1}{ \frac{ \sin {}^{2} ( \alpha ) + \cos {}^{2} ( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) } } = \\ = \ctg( \alpha ) \times \frac{ \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) }{ \sin {}^{2} ( \alpha ) + \cos {}^{2} ( \alpha ) } = \\ = \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } \times \frac{ \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) }{1} = \cos {}^{2} ( \alpha )$