Question

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Биссектриса угла B пересекает катет AC в точке M. Известно, что AM = 8√3, а угол BAC= углу MBC. Найдите площадь треугольника ABC. СРОЧНО!

Answer 1

Ответ:

Sabc =  72√3 cм².

Объяснение:

По сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС

∠А + 2·∠АВМ = 90°.

Тогда ∠АВМ = 30°, ∠А = 30° и ∠АВС  = 60°.

Треугольник АМВ - равнобедренный с основанием АВ  

Пусть МН - высота равнобедренного треугольника АМВ.

Тогда МН = 4√3, АН =12, АВ=24, ВС= 12.

По Пифагору: АС = √(АВ² - ВС²) =  √(24² - 12²) = 12√3 см.

S= (1/2)·АС·ВС = (1/2)·12√3·12 = 72√3 см².

Или так:

Треугольник АМБ - равнобедренный с основанием АВ и по теореме косинусов

АВ² = АМ²+ВМ² - 2·АМ·ВМ·Cos(∠АМВ).

∠АМВ = 120° => Cos120 = Cos(180-60) = -Cos60.

Cos120 = -(1/2). Тогда АВ² = 192+192+192 = 576.

АВ = √576 = 24см, ВС = (1/2)АВ = 12 см.

Sabc = (1/2)·АВ·ВС·Sin(∠АВС) или

Sabc = (1/2)·24·12·(√3)/2 = 72√3 cм².