Question

Вычислите:
1) arccos(sin($\frac{8\pi }{7\\}$))
2) arctg(ctg($\frac{6\pi }{5}$))

Answer 1

Ответ:

$1) \ arccos\left(sin\frac{8\pi}{7} \right)=\frac{9\pi}{14} \\ \\ 2) \ arctg\left(ctg\frac{6\pi}{5} \right)=\frac{3\pi}{10}$

Объяснение:

по формулам приведения:

$sinx=cos\left(\frac{\pi}{2}-x \right) \\ \\ ctgx=tg\left(\frac{\pi}{2}-x \right)$

Также необходимо знать, что

$arccos(cosx)=x, \ 0\leq x\leq \pi \\ \\ arctg(tgx)=x, \ -\frac{\pi }{2} < x< \frac{\pi }{2}$

Решение:

$1) \ arccos\left(sin\frac{8\pi}{7} \right) =arccos\left(cos \left(\frac{\pi}{2}- \frac{8\pi}{7} \right)\right) =arccos\left(cos \left(- \frac{9\pi}{14} \right)\right)=(*)$

Но -9π/14 не находится на отрезке от 0 до π. A 9π/14 как раз принадлежит этому отрезку. Значит воспользуемся свойством четности косинуса:

cos(-x)=cosx

Тогда продолжая цепочку, получаем:

$(*)=arccos\left(cos\frac{9\pi}{14}\right)=\frac{9\pi}{14} \\ \\ 2) \ arctg\left(ctg\frac{6\pi}{5}\right)=arctg\left(tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{6\pi}{5}\right)\right)=arctg\left(tg\left(-\frac{7\pi}{10}\right)\right)=(*)$

-7π/10 не принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Воспользуемся свойством периодичности тангенса:

tgx=tg(x±π)

$(*)=arctg\left(tg\left(-\frac{7\pi}{10}+\pi\right)\right)=arctg\left(tg\frac{3\pi}{10}\right)=\frac{3\pi}{10}$