Question

NK-гипотенуза в прямоугольном треугольнике MNK. Биссектриса KD и DE перпендикулярны гипотенузе. Если известно, что EN = EK, докажите, что MN = 3MD.

Answer 1

        В ∆ KDN  отрезок DE - высота, а  т.к.  KЕ=EN, то и медиана.

Следовательно,  ∆ KDN - равнобедренный, углы DKN=KND.  

Угол NKD= углу MKD Поэтому угол МКN=2 угла N.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.

3N=90° => Угол N=30°.

В  прямоугольном ∆ DЕN  проведем медиану ЕН.

По свойству медианы прямоугольного треугольника ЕН=DH=HN, треугольник ЕНN  и  треугольник DEH- равнобедренные. Угол HED=ЕDN=90°-30°=60°, ∆ DEH –  равносторонний.  

     Точка D по свойству биссектрисы равноудалена от сторон  КМ и КN.

МD=DE, а DE=DH=HN => MD=HN => MN=3MD. Доказано.