Question

Помогите решить задания по теме интегралы на скрине, хотя бы 3 из них

Answer 1

1.

$(x^2-5)'=2x\\ \\ \int {\frac{4x}{x^2-5}} \, dx =2\int {\frac{d(x^2-5)}{x^2-5}} =2\ln{|x^2-5|}+C$

2.

$\int\limits^{\frac{1}{2}}_{\frac{1}{3}} {\frac{dx}{x^2}} =\int\limits^{\frac{1}{2}}_{\frac{1}{3}} {x^{-2}} \, dx =-\frac{1}{x}|^{\frac{1}{2}}_\frac{1}{2}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}-(-\frac{1}{\frac{1}{3}})=-2+3=1$

3.

$-x^2+x+6=0 \\ \\ x^2-x-6=0; \\ \\ x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1 \cdot (-6) }}{2\cdot 1 }=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2} \\ \\ x_1=\frac{1+5}{2}=3; \ \ \ x_2=\frac{1-5}{2}=-2$

$\int\limits^3_{-2} {(-x^2+x+6-0)} \, dx =\int\limits^3_{-2} {(-x^2+x+6)} \, dx =(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+6x)|^3_{-2} = \\ \\ =(-\frac{3^3}{3}+\frac{3^2}{2}+6\cdot3)-(-\frac{(-2)^3}{3}+\frac{(-2)^2}{2}+6\cdot (-2))=(-9+\frac{9}{2}+18)-(\frac{8}{3}+2-12)=\\\\=9+\frac{9}{2}-\frac{8}{3}+10 =19+\frac{27-16}{6}=19+\frac{11}{6}=\frac{114+11}{6}=\frac{125}{6}=20\frac{5}{6} \ cm^2$

см. приложенное фото

4.

$V(t)=4+4t^2 \\ \\ S(t)=\int\limits^2_0 {(4+4t^3)} \, dx =(4t+4\cdot \frac{t^4}{4})|^2_0 = (4t+t^4)|^2_0=(4\cdot 2+2^4)-0=8+16=24 \ m$