Question

Я пишу и прошу уже не первый раз о помощи! Помогите, пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

a)

в подынтегральном выражении нужно всё выразить через параметр t

x = r*cost;  dx= -r*sint

y - r*sint;    dy = r*cost

теперь подставим всё аккуратненько под интеграл

$\displaystyle \int\limits^{\pi /2}_0 {(r*cost*r*cost-r*sint*r*sint)} \, dt=r^2\int\limits^{\pi /2}_0 {(cos^2t-sin^2t)} \, dt=$

$\displaystyle =r^2\int\limits^{\pi /2}_0 {cos2t} \, dt = \left[\begin{array}{ccc}u=2t\quad du=2dt\\u_1= 2*0=0\hfill\\u_2=2*\pi /2=\pi \hfill\end{array}\right] =r^2\int\limits^\pi _0 {cosu} \, du=$

$\displaystyle =r^2*\frac{1}{2} sinu \bigg |_0^\pi = r^2*\frac{1}{2} (0-0) = 0$

итак наш исходный интеграл при заданных условиях

$\displaystyle \int\limits_L ({yx} \, dx +xdy) = 0$

б)

$\displaystyle \int\limits_L {\bigg ((x^2-y^2)} \, dx +3dy\bigg ) L:{y=x^2}$

y = x²

dy=2xdx

под интегралом получим

(x²-x⁴)dx +3*2xdx = (x² -x⁴ +6x)dx

0 ≤ x ≤ 2

тогда получим определенный интеграл

$\displaystyle \int\limits^2_0 {(-x^4+x^2+6x)} \, dx =-\frac{x^5}{5} \bigg |_0^2+\frac{x^3}{3} \bigg |_0^2+6\frac{x^2}{2} \bigg |_0^2=-\frac{32}{5} +\frac{8}{3} +12=\frac{124}{15}$

и наш ответ

исходный интеграл при заданных условиях (вдоль дуги параболы у=х² от точки (0;0) до точки (2; 4) )

$\displaystyle \int\limits_L {\bigg ((x^2-y^2)} \, dx +3dy\bigg )=\frac{124}{15}$