Question

Найдите среднее арифметическое целых корней уравнения:
$\displaystyle \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1} } + \sqrt{x+2-2\sqrt{x+1} } =1$

Answer 1

$\displaystyle \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1\\\\ODZ: x\geq -1\\\\\sqrt{x+1}=t; t\geq 0\\\\x+1=t^2\\\\x=t^2-1\\\\\sqrt{t^2-1+5-4t}+\sqrt{t^2-1+2-2t}=1\\\\\sqrt{(t-2)^2}+\sqrt{(t-1)^2}=1\\\\|t-2|+|t-1|=1\\\\0\leq t\leq 1\\\\2-t+1-t=1\\\\3-2t=1\\\\t=1$

подходит под условие, тогда обратная замена

$\displaystyle \sqrt{x+1}=1\\\\x+1=1\\\\x=0$

$\displaystyle 1<t\leq 2\\\\2-t+t-1=1\\\\1=1$

истина. тогда подходят все t из промежутка (1;2]

обратная замена

$\displaystyle 1<\sqrt{x+1}\leq 2\\\\1<x+1\leq 4\\\\0<x\leq 3$

$\displaystyle t>2\\\\t-2+t-1=1\\\\2t=4\\\\t=2$

по условию не подходит т.к. t>2

тогда общее решение x=0 или x∈(0;3]. Значит объединение [0;3]

целые корни уравнение 0+1+2+3=6

среднее арифметическое 6/4=1,5