Question

Вычислить площадь поверхности вращения дуги

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

формула вычисления площади поверхности вращения кривой вокруг оси ох

$\displaystyle P=2\pi \int\limits^a_b {y(x)\sqrt{1+(y')^2} } \, dx$

наши условия

у² = 4(х-4);   7≤ x ≤12

$\displaystyle y = \sqrt{4(x-4)}=2\sqrt{x-4}$

дальше найдем производную

$\displaystyle y' = (2\sqrt{x-4})' = \frac{1}{\sqrt{x-4} }$

теперь сам интеграл

$\displaystyle P=2\pi \int\limits^{12}_7 {\bigg (2\sqrt{x-4} *\sqrt{1+\frac{1}{x-4} } } \, \bigg )dx =4\pi \int\limits^{12}_7 {\sqrt{(x-4)*\frac{x-3}{x-4} } } \, dx =$

$\displaystyle =4\pi \int\limits^{12}_7 {\sqrt{x-3} } \, dx =4\pi \left[\begin{array}{ccc}u=x-3\quad du=dx \\ u_1=7-3=4\\u_2=12-3=9\end{array}\right] =4\pi \int\limits^9_4 {\sqrt{u} } \, du=$

$\displaystyle = 4\pi \frac{\sqrt{u^3} }{3} ==4\pi \frac{38}{3} \approx 159,1$