Question

Найти локальный экстремум функции:
f (x,y) = ln x + 3 ln y - xy - 4y^2

Answer 1

$f(x,y)=\ln x + 3 \ln y - xy - 4y^2\\\frac{df}{dx} =(\ln x + 3 \ln y - xy - 4y^2)'_x=\frac{1}{x} -y\\\frac{df}{dy}=(\ln x + 3 \ln y - xy - 4y^2)'_y=\frac{3}{y} -x-8y\\\left \{ {{\frac{1}{x} -y=0} \atop {\frac{3}{y} -x-8y=0}} \right.\\y=\frac{1}{x}\\3x-x-\frac{8}{x} =0\\2x^2-8=0,\ x\neq 0\\x^2=4\\x_1=2;\ x_2=-2\\y_1=\frac{1}{2};\ y_2=-\frac{1}{2}$

Найдены критические точки: K1(2;1/2), K2(-2;-1/2)

Точка K2 не входит в область определения функции.

$\frac{d^2f}{dx^2} =(\frac{1}{x} -y)'_x=-\frac{1}{x^2} \\\frac{d^2f}{dy^2}=-\frac{3}{y^2} -8\\\frac{d^2f}{dxdy}=-1$

Для точки K1:

$\frac{d^2f}{dx^2} |_{(2;\frac{1}{2})} =-\frac{1}{2^2} =-\frac{1}{4}=A\\\frac{d^2f}{dy^2}|_{(2;\frac{1}{2})}=-\frac{3}{(\frac{1}{2})^2} -8=-20=C\\\frac{d^2f}{dxdy}|_{(2;\frac{1}{2})}=-1=B$

$AC-B^2>0$ и $A<0 \Rightarrow$ В точке K1 локальный максимум.

$f(2,\frac{1}{2})=\ln 2+3*\ln\frac{1}{2}-2*\frac{1}{2}-4*(\frac{1}{2})^2=-2-2\ln2$