Question

1. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой же окружности.
2. Длина стороны правильного 6-угольника, вписанного в окружность, равна 7 см. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в ту же окружность.

Answer 1

Для начала найдём сторону квадрата: $P = 48 \Rightarrow a = 48/4 = 12$

Формула вычисления радиуса вписанной окружности в треугольнике такова:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Этот же радиус — мы можем найти по стороне квадрата: $R = \frac{\sqrt2*a}{2}\\R = \frac{16.98}{2} \Rightarrow R = 8.5.$

Теперь, зная радиус — мы сможем найти и сторону описанного треугольника:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\\8.5 = \frac{a}{3.5}\\a = 3.5*8.5\\a = 29.75.$

Вывод: a = 29.75.

2.

Радиус описанной окружности шестиугольника равна: $R = a$

Тоесть, описанный радиус равен 7 см.

Формула вычисления описанного радиус треугольника: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}\\7 = \frac{a}{1.73}\\a = 1.73*7 \Rightarrow a = 12.11.$

Формула вычисления площади правильного треугольника такова: $S_\triangle = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\S_\triangle = \frac{12.11^2*1.73}{4}\\S_\triangle = 63.43.$

Вывод: S = 63.43.