Question

Попрошу помощи у вас с этим уравнением
$\sqrt{1 + \cos(x) } = - \sin(x)$
​

Answer 1

$\sqrt{1+Cosx}=-Sinx\\\\\left \{ {{1+Cosx=Sin^{2}x } \atop {-Sinx\geq0 }} \right.\\\\\left \{ {{1+Cosx=1-Cos^{2}x } \atop {Sinx\leq0 }} \right.\\\\Cos^{2}x+Cosx=0\\\\Cosx(Cosx+1)=0\\\\1)Cosx=0 \ \Rightarrow \ \left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z \\x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z \end{array}\right\\\\2)Cosx+1=0 \ \Rightarrow \ Cosx=-1 \ \Rightarrow \ x=\pm \pi+2\pi n ,n\in Z$

Учитывая ОДЗ :

$1)x=\frac{\pi }{2}+2\pi n \\\\Sin(\frac{\pi }{2}+2\pi n)=Sin\frac{\pi }{2}=1>0-neyd \\\\2)x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n\\\\Sin(-\frac{\pi }{2}+2\pi n)=-Sin\frac{\pi }{2}=-1<0-yd\\\\3)x=\pi+2\pi n\\\\Sin(\pi+2\pi n)=Sin\pi=0-yd\\\\4)x=-\pi+2\pi n\\\\Sin(-\pi+2\pi n)=-Sin\pi=0-yd\\\\\boxed{-\frac{\pi }{2}+2\pi n \ ; \ \pm \pi +2\pi n}$

Найдём корни принадлежащие [- π ; 2π]

$1)-\frac{\pi }{2}+2\pi n\\\\n=0 \ \Rightarrow \ \boxed{x=-\frac{\pi }{2}}\\\\n=1 \ \Rightarrow \ \boxed{x=\frac{3\pi }{2}}\\\\2)x=-\pi+2\pi n\\\\n=0 \ \Rightarrow \ \boxed{x=-\pi}\\\\n=1 \ \Rightarrow \ \boxed{x=\pi}\\\\3)x=\pi+2\pi n\\\\n=-1 \ \Rightarrow \ \boxed{x=-\pi}\\\\n=0 \ \Rightarrow \ \boxed{x=\pi} \\\\\boxed{-\pi \ ; \ -\frac{\pi }{2} \ ; \ \pi \ ; \ \frac{3\pi }{2} }$