Question

Помогите срочнооооооо

Answer 1

Чтобы доказать тождество, необходимо, чтобы правая и левая части выражения были равны. $\frac{1}{(x-4)(x-3)} +\frac{1}{(x-3)(x-2)} +\frac{1}{(x-2)(x-1)} +\frac{1}{(x-1)x} =\frac{4}{x(x-4)} \\\frac{(x-2)(x-1)x}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x}+\frac{(x-4)(x-1)x}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x}+\frac{(x-4)(x-3)x}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x}+\frac{(x-4)(x-3)(x-2)}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x}=\frac{4(x-3)(x-2)(x-1)}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x}$Так как из условия ясно, что $x\neq 0,~x\neq 1,~x\neq 2,~x\neq 3,~x\neq 4$, то выражение можно почленно домножить на знаменатель:

$(x-2)(x-1)x+(x-4)(x-1)x+(x-4)(x-3)x+(x-4)(x-3)(x-2)=4(x-3)(x-2)(x-1)$

Раскладываем на множители: сначала поменяем местами второй и третий одночлены:

$x[(x-2)(x-1)x+(x-4)(x-1)x+(x-4)(x-3)]+(x-4)(x-3)(x-2)=4(x-3)(x-2)(x-1)\\x(x^2-3x+2+x^2-5x+4+x^2-7x+12)+(x-4)(x-3)(x-2)=4(x-3)(x-2)(x-1)\\x(3x^2-15x+18)+(x-4)(x-3)(x-2)=4(x-3)(x-2)(x-1)\\3x(x^2-5x+6)+(x-4)(x-3)(x-2)=4(x-3)(x-2)(x-1)\\3x(x-2)(x-3)+(x-4)(x-3)(x-2)=4(x-3)(x-2)(x-1)\\(x-2)(x-3)(3x+x-4)=4(x-2)(x-3)(x-1)\\(x-2)(x-3)(4x-4)=4(x-2)(x-3)(x-1)\\4(x-1)(x-2)(x-3)=4(x-2)(x-3)(x-1)$

Тождество доказано и выполняется при $x$ ∈ R\{1;2;3;4}