Question

Решить тождество с пояснением!

arcctg(ctg6)​

Answer 1

$\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}\,6)$

Известно соотношение:

$\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}\,x)=x,\ x\in(0;\ \pi)$

Кроме этого, известно, что основной период котангенса равен $\pi$:

$\mathrm{ctg}\,x=\mathrm{ctg}\,(x+\pi k),\ k\in\mathbb{Z}$

Таким образом, аргумент 6 нужно заменить некоторым аргументом вида $6+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$, чтобы с одной стороны котангенсы этих аргументов были равны, а с другой стороны полученный аргумент удовлетворял формуле для простого нахождения арккотангенса от котангенса.

Запишем неравенство:

$0<6+\pi k<\pi$

$-6<\pi k<\pi-6$

$-\dfrac{6}{\pi} < k<\dfrac{\pi-6}{6}$

$-\dfrac{6}{\pi} < k<\dfrac{\pi}{6}-1$

Выполним оценку обеих частей неравенства:

$-\dfrac{6}{\pi} >-\dfrac{6}{3}=-2$

$\dfrac{\pi}{6}-1<\dfrac{4}{6}-1=\dfrac{2}{3} -1=-\dfrac{1}{3}$

Получим:

$-2<-\dfrac{6}{\pi} < k<\dfrac{\pi}{6}-1<-\dfrac{1}{3}$

Или записывая соотношение для k:

$-2< k<-\dfrac{1}{3}$

Единственное подходящее целое значение: $k=-1$.

Запишем:

$\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}\,6)=\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}\,(6-\pi))=6-\pi$

Действительно, $0<6-\pi<\pi$, арккотангенс может принимать такое значение.

Ответ: $\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}\,6)=6-\pi$