Question

С помощью дифференциала приближенно вычислить данные величины

Answer 1

Введем функцию

$\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{4-x}{1+x}}$

надо вычислить значение функции в точке х= 3,02

Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной:

х=x₀+Δx= 3+0.02

f(x₀+Δx)≈f(x₀)+f ` (x₀)*Δx

1.  найдем f(x₀)

$\displaystyle f(x_0)=\sqrt{\frac{4-3}{1+3}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

2. найдем производную

$\displaystyle f`(x)=\bigg(\bigg(\frac{4-x}{1+x}\bigg)^{1/2}\bigg)=\frac{1}{2}*\sqrt{\frac{1+x}{4-x}}*\frac{-(1+x)+(4-x)}{(1+x)^2}=\\\\=\frac{-5}{2}\sqrt{\frac{1+x}{4-x}}*\frac{1}{(1+x)^2}$

теперь найдем f ` (x₀)*Δx

$\displaystyle f`(x_0)* \Delta x=\frac{-5}{2}\sqrt{\frac{1+3}{4-3}}*\frac{1}{(1+3)^2}*0.02=\\\\=\frac{-5}{2}*2*\frac{1}{16}*0.02=-0.00625$

3. и теперь найдем приближенное значение

f(x₀+Δx)≈f(x₀)+f ` (x₀)*Δx ≈ 1/2-0,00625≈0,5-0,00625≈0,49375