Question

Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а синус угла между ними равен √35/6. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Answer 1

Ответ:

c = √21 см или c = √29 см

Задача имеет два решения.

Объяснение:

Зная синус угла треугольника найдем косинус этого угла:

$\sin\alpha =\dfrac{\sqrt{35}}{6}$

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

$\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$

$\cos^2\alpha =1-\dfrac{35}{36}=\dfrac{1}{36}$

$\cos\alpha =\dfrac{1}{6}$   или   $\cos\alpha = -\dfrac{1}{6}$

а = 3 см,  b = 4 см,  α - угол между этими сторонами.

с - искомая сторона.

Применим теорему косинусов для двух случаев.

1. α - острый угол.

$\cos\alpha =\dfrac{1}{6}$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\alpha$

$c^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \dfrac{1}{6}=9+16-4=21$

c = √21 см

2. α - тупой угол.

$\cos\alpha = -\dfrac{1}{6}$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\alpha$

$c^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \left(-\dfrac{1}{6}\right)=9+16+4=29$

c = √29 см