Найдите наибольшее
пятизначное число, у которого суммы: первой и третьей цифр,
третьей и пятой цифр, пятой и второй цифр, второй и четвёртой цифр, четвёртой и
первой цифр (т.е. пять сумм) являются простыми числами.
50 БАЛЛОВ
Ответы
Ответ:
79042
Объяснение:
Обозначим цифры этого числа: a1, a2, a3, a4, a5.
Нам известно, что:
a1 + a3 = p1
a3 + a5 = p2
a2 + a5 = p3
a2 + a4 = p4
a1 + a4 = p5
Здесь p1, p2, p3, p4, p5 - простые числа.
Найти наибольшее такое пятизначное число.
Решение:
Во-первых, отметим, что наибольшая сумма двух цифр: 9 + 9 = 18, поэтому просты числа могут быть:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
И никакие другие.
Во-вторых, смотрим на суммы. Возможно 2 случая:
1) a1 + a3 = p1
a1 + a4 = p5
Если a1 четное, то a3 и a4 оба нечетные.
a2 + a5 = p3
a2 + a4 = p4
Так как a4 нечетное, то a2 четное, и a5 нечетное.
a3 + a5 = p2
a3 и a5 - оба нечетные, тогда их сумма четная и простая, то есть 2.
2) a1 + a3 = p1
a1 + a4 = p5
Если a1 нечетное, то a3 и a4 оба четные.
a2 + a5 = p3
a2 + a4 = p4
Так как a4 четное, то a2 нечетное, и a5 четное.
a3 + a5 = p2
a3 и a5 - оба четные, тогда их сумма четная и простая, то есть 2.
В обоих случаях a3 + a5 = 2, то есть варианты: (0; 2); (1; 1); (2; 0).
Рассмотрим все три варианта:
1) a3 = 0; a5 = 2
a1 + 0 = p1 = a1, наибольшее a1 = 7.
a3 + a5 = 2
a2 + a5 = p3 = a2 + 2. Наибольшее p3 = 11, тогда a2 = 9.
a2 + a4 = p4 = 9 + a4.
a1 + a4 = p5 = 7 + a4.
Получилось, что 7 + a4 и 9 + a4 - это два простых и их разность 2.
Наибольшая такая пара - 11 и 13. Значит, a4 = 4
Получилось число: 79042 - ЭТО РЕШЕНИЕ.
2) a3 = 1; a5 = 1
a1 + 1 = p1. Наибольшее p1 = 7, тогда a1 = 6.
Это меньше, чем a1 = 7 в 1) случае, поэтому дальше можно не считать.
3) a3 = 2; a5 = 0.
a1 + 2 = p1
Наибольшее p1 = 7, тогда a1 = 5.
Это меньше, чем a1 = 7 в 1) случае, поэтому дальше можно не считать.