Учитель ставит ученику двойку, если в домашней работе решено менее трёх задач. Кроме
того, если у двух учеников наборы решённых задач (независимо от порядка) совпадают,
то учитель считает, что они списали, и ставит им обоим двойку. В иных случаях учитель,
так и быть, двойку не ставить
В классе 30 учеников.
Укажите наибольшее число задач, которое злой учитель может задать на дом так, чтобы
обязательно кто-нибудь получил двойку
Ответы
Ответ:
5
Объяснение:
Пусть на дом задано n задач, тогда всего комбинаций решенных задач 2
n
(каждую из
задач ученик может решить или не решить). Вычтем из этих комбинаций комбинации,
когда решено менее 3 задач: 1 комбинация, когда ничего не решено; n комбинаций,
когда решена 1 задача; n(n−1)
2
, когда решено две задачи (первую решенную можно
выбрать n способами, вторую (n − 1), при этом нам не важен порядок, поэтому делим
на 2. Итого получаем, что уникальных комбинаций, за которые учитель не поставит
оценку «2»: 2
n−1−n−
n(n−1)
2
. Для того, чтобы кто-нибудь обязательно получил оценку
«2», это число должно быть меньше, чем число учеников в классе (чтобы у каких-то
двух комбинация задач совпадала). Получаем неравенство: 2
n − 1 − n −
n(n−1)
2 < 30
наибольшее n, удовлетворяющее этому неравенству это n = 5.
Ответ: 5 задач