Question

Найдите все значения при каждом из которых наибольшее значение выражения
(a-x)(x+4) больше 4

Answer 1

Это выражение представляет собой квадратный трехчлен. Раскрыв скобки, получим:

-x² - 4x + 4a + ax

Приведем его к виду αx² + βx + c:

-x² - x(4 - a) + 4a

Т.к α = -1, то ветви параболы всегда будут направлены вниз, а её вершина будет точкой максимума. Нам нужно, чтобы значение выражения при $x = x_{top}$ было больше 4. $x_{top}$ = - β/2α = (a - 4) / 2. Теперь это нужно подставить в исходное уравнение и решить неравенство:

$-(\frac{a - 4}{2})^{2} - (\frac{a - 4}{2})*(4 - a) + 4a > 4$

$-\frac{a^{2} - 8a + 16}{4} + (\frac{a^{2} - 8a + 16}{2}) + 4a > 4$

$\frac{a^{2} - 8a + 16 }{4} + 4a > 4$

$\frac{a^{2} - 8a + 16 + 16a }{4} > 4$

$a^{2} - 8a + 16 + 16a > 16$

$a^{2} + 8a > 0$

$a(a + 8) > 0$

a ∈ (-∞; 0)∪(8; +∞)

Ответ: (-∞; 0)∪(8; +∞)