Question

Найти все решения системы уравнений (x; y; z), если x> 0, y> 0, z> 0

Answer 1

x + [y] + {z} = 1,2

{x} + y + [z] = 3,4

[x] + {y} + z = 4,6

Если сложить все три уравнения, то получится по одному слагаемому x, y и z + их целые и дробные части. Целая + дробная часть равна самому числу. Поэтому получится 2x + 2y + 2z = 9,2, или x + y + z = 4,6.

Приравняем это к третьему уравнению:

x + y + z = [x] + {y} + z = 4,6

x + y = [x] + {y} = 4,6

{x} + [y] = 4,6

С другой стороны, 4,6 = 1,2 + 3,4, то есть

{x} + [y] + x + y + z = 4,6

Но x + y + z = 4,6, значит {x} + [y] = 0.

Т.к x > 0 и y > 0 и z > 0, то

{x} = 0

{x} - целое число

[y] = 0

0 < y < 1

Из первого уравнения системы:

x + [y] + {z} = 1,2

Но [y] = 0, поэтому

x + {z} = 1,2

[x] + {x} + {z} = 1,2

{x} = 0, поэтому

[x] + {z} = 1,2

Т.к x > 0 и y > 0 и z > 0, то x = 0 или 1.

0 не может быть, т.к {z} < 1.

Значит [x] = 1 и x = 1, а {z} = 0,2

Из второго уравнения системы:

{x} + y + [z] = 3,4

y + [z] = 3,4

Т.к [y] = 0, то y = 0,4, а [z] = 3.

Все переходы равносильные, поэтому решение единственное

Ответ: (1, 0,4, 3,2)