Question

Даю 30 баллов!!!Исследовать на сходимость интеграл.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

воспользуемся предельным признаком сравнения

для этого для нашей функции f(x)  найдем удобную функцию g(x), сходимость интеграла которой известна, и найдем

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = k$

и тогда, если к≠ 0, то несобственные интегралы от этих функций функции ведут себя одинаково

как правило в качестве g(x) выбирают степенную функцию, т.к. известно, что

$\displaystyle \int\limits^{\infty}_b {\frac{1}{x^n} } \, dx$ сходится при n > 1, и расходится при n ≤ 1

итак наша функция f(x) эквивалентна функции g(x)

$\displaystyle \frac{\sqrt{x+1} }{1+2\sqrt{x} +x^2} \equiv\frac{1}{x^{2-1/2}} \equiv\frac{1}{x^{3/2}}$

теперь предел

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty}\bigg (\frac{\sqrt{x+1} }{1+2\sqrt{x} +x^2} :\frac{1}{x^{3/2}} \bigg )=\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3/2}\sqrt{x+1} }{1+2\sqrt{x} +x^2} =1\neq 0$

следовательно несобственный интеграл f(x) ведет себя также как несобственный интеграл $\displaystyle \frac{1}{x^{3/2}}$ , т.е сходится.