Question

СРОЧНО ДАЮ 50 БАЛОВ Знайти чотири числа, що утворюють геометричну прогресію (в п ), у якій
сума крайніх членів дорівнює 27, а добуток середніх: 72.

Answer 1

Ответ:  3, 6, 12, 24

Объяснение:

Пусть $x,\ xq,\ xq^{2} ,\ xq^{3}$ искомые числа геометрической прогрессии.

Тогда по условию:

$\left \{ {{x+xq^{3} =27} \atop {xq*xq^{2} =72}} \right. ;\ \left \{ {{q^{3} =\frac{27-x}{x} } \atop {x^{2}q^{3} =72}} \right.$

Подставляем первое уравнение во второе:

$x^{2} *\frac{27-x}{x} =72;\\x(27-x)=72;\\27x-x^{2} -72=0;\\x^{2} -27x+72=0;$

Замечаем, что $x_{1} =3$ является корнем уравнения, тогда по теореме Виета второй корень $x_{2} =\frac{72}{3} =24$.

Тогда:

$q_{1} ^{3} =\frac{27-3}{3} =8;\ q_{1}=\sqrt[3]{8} =2;$

$q_{2} ^{3} =\frac{27-24}{24} =\frac{1}{8} ;\ q_{2}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}} =\frac{1}{2};$

При $x=3, q=2$  искомые числа: 3, 6, 12, 24;

При $x=24, q=\frac{1}{2}$ искомые числа: 24, 12, 6, 3.