Question

998))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Answer 1

Ответ: Кривизна k₁ = 2/9, кручение k₂ =-1/9

Пошаговое объяснение:

Вычислить кривизну и кручение кривой x=2t, y=lnt, z= t², (0<t<00), в точке(2,0,1)

Решение

Находим производные

 x = 2t,   y = lnt,    z = t²

x' = 2,    y' = 1/t,    z' = 2t

x" = 0,    y" = -1/t², z" = 2

x"' = 0,  y"' = 1/t³,  z'" = 0

В случае произвольного параметрического задания кривой кривизна кривой в трехмерном пространстве

определяется по формуле

$k_1=\frac{\sqrt{(z''\cdot y'-y''\cdot z')^2+(x''\cdot z'-z''\cdot x')^2+(y''\cdot x'-x''\cdot y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}$

Подставляем производные

$k_1=\frac{\sqrt{(2\cdot 1/t+1/t^2\cdot 2t)^2+(0\cdot 2t-2\cdot 2)^2+(-1/t^2\cdot 2-0\cdot 1/t)^2}}{(2^2+(1/t)^2+(2t)^2)^{3/2}}=$

$=\frac{\sqrt{16/t^2+16+4/t^4}}{(4+1/t^2+4t^2)^{3/2}}$

в точке (2,0,1) параметр t = 1 поэтому кривизна кривой равна

$k_1=\frac{\sqrt{16/1^2+16+4/1^4}}{(4+1/1^2+4\cdot 1^2)^{3/2}}=\frac{\sqrt{16+16+4}}{(4+1+4)^{3/2}}=\frac{\sqrt{36}}{(9)^{3/2}}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$

В случае произвольного параметрического задания кривой уравнениями (1) кручение кривой определяется по формуле

$k_2=\frac{x'''(z''\cdot y'-y''\cdot z')+y'''(x''\cdot z'-z''\cdot x')+z'''(y''\cdot x'-x''\cdot y')}{(z''\cdot y'-y''\cdot z')^2+(x''\cdot z'-z''\cdot x')^2+(y''\cdot x'-x''\cdot y')^2}$

Подставляем производные

$k_2=\frac{0\cdot (2\cdot 1/t+1/t^2\cdot 2t)+(1/t^3)\cdot (0\cdot 2t-2\cdot 2)+0\cdot (-1/t^2\cdot 2-0\cdot 1/t)}{(2\cdot 1/t+1/t^2\cdot 2t)^2+(0\cdot 2t-2\cdot 2)^2+(-1/t^2\cdot 2-0\cdot 1/t)^2}=$

$=\frac{-4/t^3}{16/t^2+16+4/t^4}=-\frac{t}{4t^2+4t^4+1}$

в точке (2,0,1) параметр t = 1 поэтому кручение кривой равно

$k_2=-\frac{1}{4\cdot 1^2+4\cdot 1^4+1}=-\frac{1}{9}$