Question

Дифференциальное уравнение.​

Answer 1

$y^{IV}+4y''=0 \\ \\ \lambda^4+4\lambda^2=0 \\ \\ \lambda^2\cdot (\lambda^2+4)=0 \\ \\ \lambda_{1,2}=0; \ \ \ \ \lambda_{3,4}=\pm 2i \\ \\ Y=C_1+C_2x+C_3\cos{2x}+C_4\sin{2x}$

$\tilde y_1=C\cdot e^{2x} \\ \\ \tilde y_2=Ax^4+Bx^3+Cx^2$    (т.к. уже присутствуют C1 и C2x в общем решении однородного ДУ)

$\tilde y'_1=(Ce^{2x})=2Ce^{2x} \\ \\ \tilde y''_1=(2Ce^{2x})'=4Ce^{2x} \\ \\ \tilde y_1'''=(4Ce^{2x})'=8Ce^{2x} \\ \\ y_1^{IV}=(8Ce^{2x})'=16Ce^{2x} \\ \\ 16Ce^{2x}+4\cdot 4Ce^{2x}=32Ce^{2x}=8e^{2x} \\ \\ C=\frac{8}{32}=\frac{1}{4} \\ \\ \tilde y_1=\frac{e^{2x}}{4}$

$\tilde y'_2=(Ax^4+Bx^3+Cx^2)'=4Ax^3+3Bx^2+2Cx \\ \\ \tilde y''_2=(4Ax^3+3Bx^2+2Cx)'=12Ax^2+6Bx+2C \\ \\ \tilde y'''_2=(12Ax^2+6Bx+2C)'=24Ax+6B \\ \\ \tilde y^{IV}=(24Ax+6B)'=24A \\ \\ 24A+4\cdot (12Ax^2+6Bx+2C)=48Ax^2+24Bx+8C+24A=8x^2 \\ \\ 48A=8; \\ B=0 \\ 8C+24A=0 \\ \\ A=\frac{1}{6}; \\ \\ 8C+24\cdot \frac{1}{6}=0 \\ \\ 8C=-4 \\ \\ C=-\frac{1}{2}$

$\tilde y_2=\frac{x^4}{6}-\frac{x^2}{2}$

$y=Y+\tilde y_1+\tilde y_2 \\ \\ y=C_1+C_2x+C_3\cos{2x}+C_4\sin{2x}+\frac{e^{2x}}{4}+\frac{x^4}{6}-\frac{x^2}{2}$