Question

У ∆АВС відомо, що АС=6 см, ∠А = 80˚, ∠С = 40˚. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника.
Я вас очень прошуууу, объясните как решать НЕ ЧЕРЕЗ ТЕОРЕМУ СИНУСОВ, А ВЫРАЗИТЬ СРАЗУ

Answer 1

Есть такое свойство в произвольном треугольнике, что точка пересечения серединных перпендикуляров — это центр описанной окружности.

Тоесть, если мы проведём с этого центра отрезок до какой-то вершины треугольника — то этот отрезок будет равен радиусу описанной окружности.

HC == BH == AH = R.

<A = 80°; <AFH == <AEH = 90° ⇒ <FHE = 360-(90+90+80) = 100°.

<FHE = 100° ⇒ <EHC = 180-100 = 80°.

<EHC = 80°; <HEC = 90° ⇒ <HCE = 90-80 = 10°.

AC = 6.

AE == EC = AC/2 ⇒ AE == EC = 6/2 = 3.

EC = 3; <HCE = 10°(α), тоесть — по теореме тангенсов:

$tg(\alpha) = \frac{HE}{EC}\\tg(10^o) = \frac{x}{3}\\0.1763 = x/3\\x = 3/0.1763 \\x = 17\\HE = 17; EC = 3 \Rightarrow HC^2 = 17^2+3^2 (Pythagorean\ theorem)\\HC^2 = 289+9 \Rightarrow HC^2 = 298\\HC = \sqrt{298} = 17.26.$

Как я говорила, отрезок, проведённый с вершины треугольника до центра описанной окружности — равен радиусу, тоесть:$HC == R = 17.26.$

Вывод: R = 17.26.