Question

Срочно!1)Найти неопределенные интегралы, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие.
C подробным решением

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{3x + 1}{x( {x}^{2} + 1)} dx \\ \\ \frac{3x + 1}{ { x({x}^{2} + 1) }^{2} } = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{ {x}^{2} + 1 } \\ 3x + 1 =A ( {x}^{2} + 1) + (Bx + C)x \\ 3x + 1 =A {x}^{2} + A+ B{x}^{2} + Cx \\ \\ \text{Система(левую часть приравниваем к правой)} \\ \\0 = A + B \\3 = C \\ 1 = A \\ \\ A= 1 \\C = 3 \\  B = - 1 \\ \\ \int\limits \frac{1 \times dx}{x} + \int\limits \frac{ ( - x + 3)}{ {x}^{2} + 1 }dx = \\ = ln |x| - \int\limits \frac{xdx}{ {x}^{2} + 1} + \int\limits \frac{3dx}{ {x}^{2} + 1 } = \\ = ln |x| - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{ {x}^{2} + 1 } + 3arctg(x) + C = \\ = ln | {x}^{} | - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 1) }{ {x}^{2} + 1 } + 3arctg(x) + C = \\ = ln |x| - \frac{1}{2} ln | {x}^{2} + 1| + 3arctg(x) + C$