Question

Вычислить неопределенный интеграл

Answer 1

Ответ:

В числителе делаем производную знаменателя:

(x^2+3x+3)' = 2x+3

$\int\limits \frac{(2x - 4)dx}{ \sqrt{ {x}^{2} + 3x + 3 } } = \int\limits \frac{2x + 3 - 7}{ \sqrt{ {x}^{2} + 3x + 3 } } dx = \\ = \int\limits \frac{(2x + 3)dx}{ \sqrt{ {x}^{2} + 3x + 3} } - \int\limits \frac{7dx}{ \sqrt{ {x}^{2} + 3x + 3} } = \\ = \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 3x + 3) }{ {( {x}^{2} + 3x + 3)}^{ \frac{1}{2} } } - 7\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {x}^{2} + 3x + 3} } \\ \\ \text{Выделим квадрат суммы:} \\ {x}^{2} + 3x + 3 = {x}^{2} + 2 \times x \times \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \\ = {(x + \frac{3}{2}) }^{2} + \frac{3}{4} = {(x + \frac{3}{2}) }^{2} + {( \frac{ \sqrt{3} }{2}) }^{2} \\ \\ \\= \frac{ {( {x}^{2} + 3x + 3)}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } - 7\int\limits \frac{d( x + \frac{3}{2} )}{ \sqrt{ {(x + \frac{3}{2} )}^{2} + {( \frac{ \sqrt{3} }{2}) }^{2} } } = \\ = 2 \sqrt{ {x}^{2} + 3x + 3} - 7ln |x + \frac{3}{2} + \sqrt{ {x}^{2} + 3x + 3} | + C$