Question

Обчислити невизначений інтеграл заміною змінних. Треба дуже детальний розв'язок. (Вища математика) ТЕРМІНОВО! ​

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{4 {e}^{x} + {e}^{2x} }{3 + {e}^{2x} } dx= \int\limits \frac{4 {e}^{x} }{3 + {e}^{2x} } dx + \int\limits\frac{ {e}^{2x} }{3 + {e}^{2x} } dx \\ \\ \\ 1)\int\limits \frac{4 {e}^{x} }{3 + {e}^{2x} } dx \\ \\ \text{Замена:} \\ {e}^{x} = t \\ {e}^{2x} + 3 = 3 + {t}^{2} \\ {e}^{x} dx = dt \\ \\ \\ \int\limits \frac{4dt}{3 + t^{2}} = 4\int\limits \frac{dt}{(\sqrt{3})^{2} + t^{2}} = \\ = 4\times\frac{1}{\sqrt{3}}arctg(\frac{t}{\sqrt{3}})+C=\\= \frac{4}{\sqrt{3}}arctg(\frac{e^x}{\sqrt{3}})+C\\ \\ \\ 2)\int\limits \frac{ {e}^{2x} }{3 + {e}^{2x} } dx \\ \\ \text{Замена:} \\ {e}^{2x} = t \\ 3 + {e}^{2x} = 3 + t \\ {e}^{2x} \times 2dx = dt \\ {e}^{2x} dx = \frac{dt}{2} \\ \\ \int\limits \frac{dt}{2(3 + t)} =\frac{1}{2}\int\limits\frac{d(3+t)}{3+t}=\\= \frac{1}{2} ln | 3 + t| + C = \frac{1}{2} ln |3 + {e}^{2x} | + C \\ \\ \\ \text{Получаем:} \\ \frac{4}{\sqrt{3}}arctg(\frac{e^x}{\sqrt{3}})+ \frac{1}{2} ln |3 + {e}^{2x} | + C$