Question

Помогите решить задачу по геометрии.

Тема - ортоцентр.
Нужно найти то, что обозначено пунктиром.

Answer 1

Точка H1 симметрична ортоцентру H относительно середины стороны AC, HM=H1M

AHCH1 - параллелограмм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам), H1C||AA1 => H1C⊥BC, ∠BCH1=90

Аналогично ∠BAH1=90

ABCH1 - описанный (т.к. противоположные углы прямые), BH1 - диаметр.

Доказали свойство:

Tочка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине.

По свойству ортоцентра: H1 на описанной окружности, ∠BAH1=∠BCH1=90

AXHH1 - описанный (т.к. противоположные углы прямые) =>

∠XH1H =∠XAH =∠BAA1

Аналогично ∠YH1H =∠YCH =∠BCC1

∠BAA1 =90-∠B =∠BCC1 => ∠XH1H =∠YH1H

H1H - биссектриса и высота в △XH1Y, следовательно и медиана, XH=HY

Или

А, C1, A1, C на окружности диаметром AC

Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам => H - середина PQ.

Теорема о бабочке:

Через середину хорды PQ проведены произвольные хорды AA1, CC1.

Хорды AC1 и CA1 пересекают хорду PQ в точках X и Y.

Тогда H - середина XY.