Kаковы должны быть размеры закрытого цилиндрического бака объёмом 93,312π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?
Ответы
"Чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала" значит, что площадь его поверхности должна быть наименьшей, а объем фиксировано равен 93,312π.
Объем цилиндра находится по формуле: V = π*r²*h
Площадь поверхности цилиндра это площадь 2 его оснований + площадь боковой поверхности.
Sосн = π*r²
Sбок = 2*π*r*h
Sпов = 2*π*r*h + 2*π*r² = 2*π*r*(r + h)
V = π*r²*h = 93,312π ⇔ r²*h = 93,312 ⇔ h = 93,312 / r² (на r можно делить т.к r > 0)
Подставим это в формулу площади:
Sпов = 2*π*r*(r + 93,312 / r²)
Пусть f(r) = 2*π*r*(r + 93,312 / r²) = 2*π*r² + 2*π*93,312 / r
Чтобы найти точки экстремума функции, найдем её производную:
f'(r) = 4*π*r - 2*π*93,312 / r²
Теперь, приравняем производную к нулю:
4*π*r - 2*π*93,312 / r² = 0 | : 4*π
r - 46,656 / r² = 0 | * r² > 0
r³ = 46,656
Т.к 27 < 46,656 < 64, то 3 < r < 4
46,656 оканчивается на 6, значит в конце дробной части числа r находится 6, потому что число с 6 на конце в любой степени оканчивается на 6. Число с 4 на конце оканчивается на 6 только в четной степени. В этом числе 3 цифры после запятой, а r как раз в третьей степени, поэтому надо проверить r с одной цифрой после запятой. Проверим число 3,6:
3,6 * 3,6 = 12,96
12,96 * 3,6 = 46,656.
Ответом действительно является 3,6
Подставим r = 3,6 в r²*h = 93,312
3,6² * h = 93,312
3,6² * h = 3,6³ * 2
h = 7,2
Ответ: r = 3,6; h = 7,2