Question

РЕШИТЕ УМОЛЯЯЯЮ!
Обчисліть значення похідної функції f у точці х0
Все задания на картинке,срочнооо, даю максимум балов !!!!!

Answer 1

1)

$f(x)=\sqrt{x}-16x; \ \ x_0=\frac{1}{4} \\ \\ f'(x)=(\sqrt{x}-16x)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-16 \\ \\ f'(x_0)=f'(\frac{1}{4} )=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}}-16=\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}-16=1-16=-15$

2)

$f(x)=\frac{\cos{x}}{1-x}; \ \ \ x_0 = 0 \\ \\ f'(x)=(\frac{\cos{x}}{1-x})'=\frac{(\cos{x})'\cdot (1-x)-\cos{x}\cdot (1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{-\sin{x}\cdot(1-x)-\cos{x}\cdot (-1)}{(1-x)^2}=\frac{\sin{x}\cdot (x-1)+\cos{x}}{(1-x)^2} \\ \\ f'(x_0)=f'(0)=\frac{\sin{0}\cdot (0-1)+\cos{0}}{(1-0)^2}=\frac{0+1}{1}=1$

3)

$f(x)=x^{-2}-4x^{-3}; \ \ \ x_0=2 \\ \\ f'(x)=(x^{-2}-4x^{-3})'=-2\cdot x^{-3}-(-3)\cdot 4x^{-4} =-\frac{2}{x^3}+\frac{12}{x^4} \\ \\ f'(x_0)=f'(2)=-\frac{2}{2^3}+\frac{12}{2^4}=-\frac{1}{4}+\frac{12}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

4)

$f(x)=\frac{2x^2-3x-1}{x+1}; \ \ \ x_0=1 \\ \\ f'(x)=(\frac{2x^2-3x-1}{x+1})'=\frac{(2x^2-3x-1)'\cdot (x+1)-(2x^2-3x-1)\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{(4x-3)\cdot (x+1)-(2x^2-3x-1)}{(x+1)^2}=\\ \\ =\frac{4x^2+4x-3x-3-2x^2+3x+1}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+4x-2}{(x+1)^2}=\frac{2\cdot (x^2+2x-1)}{(x+1)^2} \\ \\ \\ f'(x_0)=f'(1)=\frac{2\cdot (1^2+2\cdot 1-1)}{(1+1)^2}=\frac{2\cdot (1+2-1)}{4}=\frac{2}{2}=1$