Question

100 баллов!!!!
Найдите решение задачи Коши однородного линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
+ещё одна задачка
Найти общее решение дифференциального уравнения.

y два штриха - 13у (1 штрих)+12=x-1​

Answer 1

Ответ:

1.

$y ''- 4y ' + 13y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ y' = k{e}^{kx} \\ y'' = k {}^{2} {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} (k {}^{2} - 4 k + 13) = 0 \\ D = 16 - 52 = - 36 \\ k_1 = \frac{4 + \sqrt{ - 36} }{2} = \frac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i \\ k_2 = 2 - 3i \\ y = e {}^{2x} (C_1 \sin(3x) + C_2 \cos(3x))$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = 1$

$y' = 2 {e}^{2x} (C_1 \sin(3x) + C_2 \cos(3x)) + {e}^{2x} (3C_1 \cos(3x) - 3C_2 \sin(3x)) = \\ = {e}^{2x} ((2C_1 - 3C_2) \sin(3x) + (2C_2 + 3C_1) \cos(3x))$

$\left \{ {{0 + C_2 = 1} \atop {2C_2 + 3C_1 + 0 = 1} } \right. \\ \\ \left \{ {{C_2 = 1} \atop {C_1 = \frac{1}{3} (1 - 2) = - \frac{1}{3} } } \right.$

$y = {e}^{2x} ( \cos(3x) - \frac{1}{3} \sin(3x))$

частное решение

2.

$y ''- 13y' + 12y = x - 1$

это НЛДУ

1) Решаем ОЛДУ:

$y'' - 13y' + 12 = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( k {}^{2} - 13k + 12) = 0 \\ D = 169 - 48 = 121 \\ k_1 = \frac{13 + 11}{2} = 12 \\ k_2 = 1 \\ y = C_1 {e}^{12x} + C_2 {e}^{x}$

2) Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$у= Ax + B \\ у' = A \\ у'' = 0$

Подставляем в НЛДУ:

$0 - 13A+ 12Ax + 12B= x - 1 \\ \\ \left \{ {{ - 13A+ 12B= - 1} \atop {12A= 1} } \right. \\ \\ \left \{ {{A= \frac{1}{12} } \atop {B = \frac{1}{12}( - 1 + 13A) = \frac{1}{12} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{144} } } \right.$

$у= \frac{x}{12} + \frac{1}{144}$

Общее решение:

$y = C_1 {e}^{12x} + C_2 {e}^{x} + \frac{x}{12} + \frac{1}{144}$