Question

обчисліть площу фігури обмеженої лініями
1)y=3-2x-x^2
і
2)x+y=1​

Answer 1

$y=3-2x-x^2 \\ \\ x+y=1; \ \ \ y=1-x \\ \\ 3-2x-x^2=1-x \\ \\ -x^2-2x+x+3-1=0 \\ \\ -x^2-x+2=0 \\ \\ x^2+x-2=0 \\ \\ x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm3}{2} \\ \\ x_1=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1; \ \ \ \ x_2=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$\int\limits^1_{-2} {((3-2x-x^2)-(1-x))} \, dx =\int\limits^1_{-2} {(3-2x-x^2-1+x)} \, dx = \int\limits^1_{-2} {(2-x-x^2)} \, dx = \\ \\ = (2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})|^1_{-2}=(2\cdot 1-\frac{1^2}{2}-\frac{1^3}{3})-(2\cdot (-2)-\frac{(-2)^2}{2}-\frac{(-2)^3}{3})=\\\\= (2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(-4-2+\frac{8}{3})=2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+4+2-\frac{8}{3}=8-\frac{9}{3}-\frac{1}{2}=5-\frac{1}{2}=\\ \\ =\frac{10-1}{2}=\frac{9}{2}=4,5$