Question

Помогите пожалуйста решить под номером 8)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

сначала вектор

$\displaystyle \vec a =\overrightarrow {M1M2} = (M2_x - M1_x; M2_y - M1_y; M2_z - M1_z) =\\= (5 - (-2); -2 - (-3); 0 - 1) = (7; 1; -1)$

a)  производная в точке М1 по направлению вектора а(7;1;-1).

$\displaystyle \frac{\delta u}{\delta a} = \frac{\delta u}{\delta x}cos\alpha +\frac{\delta u}{\delta y}cos\beta +\frac{\delta u}{\delta z}cos\gamma$

$\displaystyle \frac{\delta u}{\delta x} =3x^2-3yz$

$\displaystyle \frac{\delta u}{\delta y}=-3xz$

$\displaystyle \frac{\delta u}{\delta z}=-3xy$

$\displaystyle cos\alpha =\frac{x}{|a|} ;\qquad cos\beta =\frac{y}{|a|} ;\qquad cos\gamma =\frac{z}{|a|} ;$

$\displaystyle |a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} =\sqrt{7^2+1^2+(-1)^2} =\sqrt{51}$

$\displaystyle \frac{\delta u}{\delta a}_{( -2;-3;1)}=21*\frac{7}{\sqrt{51} } +6*\frac{1}{\sqrt{51} } -18*\frac{-1}{\sqrt{51} } =57\frac{\sqrt{51} }{17}$

$\displaystyle \frac{\delta u}{\delta a } > 0$    функция в направлении вектора возрастает

б)

$\displaystyle grad(u) = \frac{\delta u}{\delta x} \vec i + \frac{\delta u}{\delta y} \vec j + \frac{\delta u}{\delta z} \vec k$

$\grad u = (3x^2-3yz)\vec i +(-3xz)\vec j+(-3xy)\vec k$

$\displaystyle grad u (M1) = 21 \vec i +6 \vec j +(-18) \vec k$

направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами

$\displaystyle |grad u (M1)| = \sqrt{(\delta u/\delta x)^2 +(\delta u/\delta y)^2+(\delta u/\delta z)^2} } = 3\sqrt{89}$

$\displaystyle cos \alpha =\frac{21}{3\sqrt{89} } ; \qquad cos \beta =\frac{6}{3\sqrt{89} } ; \qquad cos \gamma =\frac{-18}{3\sqrt{89} } ; \qquad$