Question

Помогите, пожалуйста, решить : если |z| = 1 , то z-1/z+1 является мнимым числом!?

Answer 1

Ответ:

Да, $\frac{z - 1}{z + 1}$ является чисто мнимым числом.

Объяснение:

Рассмотрим выражение $\frac{z - 1}{z + 1}$:

Представим его в алгебраической форме: $\frac{a + bi - 1}{a + bi + 1} = \frac{(a - 1) + bi}{(a+1) + bi}$.

Домножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряжённое знаменателю:

$\frac{((a-1) + bi)((a+1)-bi)}{((a+1)+bi)((a+1)-bi)} = \frac{a^2 + b^2 + 2bi - 1}{a^2+2a+1+b^2}.$

Знаменатель $a^2 + 2a + 1 + b^2$ уже действительный.

Рассмотрим числитель $a^2 + b^2 + 2bi - 1$:

Число будет чисто мнимым, если $a^2 + b^2 - 1 = 0$, то есть $a^2 + b^2 = 1$. А как известно, модуль исходного комплексного числа равен единице, то есть условие соблюдается. Таким образом, $\frac{z - 1}{z + 1}$ является чисто мнимым числом.