Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 240 см, боковое ребро с плоскостью основания образует угол 30°.
Вычисли высоту пирамиды.

Ответ: высота пирамиды равна ... см.

Answer 1

Ответ:

OK = 80 см

Объяснение:

Дано: KABC - правильная пирамида, AB = BC = AC = 240 см,

∠(KC,ABC) = 30°, OK ⊥ ABC

Найти: OK - ?

Решение:

Так как по условию KABC - правильная пирамида, то в основании правильной пирамиды по определению лежит правильный многоугольник, то есть треугольник ΔABC - правильный.

По определению правильной пирамиды высота пирамиды проектируется в центр правильного многоугольника, то есть точка O - центр треугольника ΔABC.

Рассмотрим треугольник ΔABC. По свойствам правильного треугольника все его углы равны 60°, тогда угол ∠ABC = 60°. По следствию из теоремы синусов:

$R = \dfrac{AC}{2 \sin \angle ABC} = \dfrac{240 }{2 \sin60^{\circ}} = \dfrac{240}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} } = \dfrac{240}{\sqrt{3}} = \dfrac{240\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{240\sqrt{3}}{3} = 80\sqrt{3}$см.

По определению радиуса описанной окружности $OC = R = 80\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник ΔKOC.

Так как по условию OK ⊥ ABC, то треугольник прямоугольный и угол ∠KOC = 90°, следовательно OC - проекция отрезка KC на плоскость ABC, тогда ∠(KC,ABC) = ∠KCO = 30°.

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\rm tg \ \angle KCO = \dfrac{OK}{OC} \Longrightarrow OK = OC \cdot tg \ \angle KCO = OC \cdot tg \ 30^{\circ} = \dfrac{80\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{3} = 80$см