Question

срочно!
помогите доказать равенство

Answer 1

Ответ:

и

$\frac{ \cos(2 \alpha ) }{ \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) + \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \frac{ \cos {}^{2} ( \alpha ) - \sin {}^{2} ( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) + \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \\ = \frac{ (\cos( \alpha ) - \sin( \alpha )) (\cos( \alpha ) + \sin( \alpha )) }{ \sin( \alpha )( \sin( \alpha ) + \cos( \alpha )) } = \\ = \frac{ \cos( \alpha ) - \sin( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } = \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } - \frac{ \sin( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } = \\ = ctg \alpha - 1$

л

$( \frac{ \cos( \alpha ) }{1 + \sin( \alpha ) } + \frac{ \cos( \alpha ) }{1 + \sin( \alpha ) } ) \sin( 2\alpha ) = \\ = \frac{ \cos( \alpha ) (1 - \sin( \alpha )) + \cos( \alpha ) (1 + \sin( \alpha )) }{(1 + \sin( \alpha ) )(1 - \sin( \alpha )) } \times \sin( 2\alpha ) = \\ = \frac{ \cos( \alpha )(1 - \sin( \alpha ) + 1 + \sin( \alpha ) }{1 - \sin { }^{2} ( \alpha ) } \times \sin( 2\alpha ) = \\ = \frac{ \cos( \alpha ) \times 2}{ \cos {}^{2} ( \alpha ) } \times 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) = 4 \sin( \alpha )$

н

$\frac{1 - \cos( \alpha ) + \cos( 2\alpha ) }{ \sin(2 \alpha ) - \sin( \alpha ) } = \frac{1 - \cos( \alpha ) + \cos {}^{2} ( \alpha ) - \sin {}^{2} ( \alpha ) }{2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) - \sin( \alpha ) } = \\ = \frac{2 \cos {}^{2} ( \alpha ) - \cos( \alpha ) }{2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) - \sin( \alpha ) } = \frac{ \cos( \alpha ) (2\cos( \alpha ) - 1)}{ \sin( \alpha ) (2\cos( \alpha ) - 1)} = ctg \alpha$