Question

Нужна помощь, Найти множество первообразных для функций

Answer 1

Запишем функцию и немного преобразуем её:

$f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{x^2} + \sqrt[3]{x} + 2\\\\\\f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3\cdot\dfrac{1}{x^2} + x^{\frac{1}{3}} + 2\\\\\\f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3x^{-2} + x^{\frac{1}{3}} + 2$

Тогда первообразная для неё будет:

$F(x) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2}{2} + 3\cdot\dfrac{x^{-1}}{-1} + \dfrac{x^{\frac{4}{3}}}{\dfrac{4}{3}} + 2x\\\\\\\\F(x) = \dfrac{x^2}{4} - 3x^{-1} + \dfrac{3x^{\frac{4}{3}}}{4} + 2x\\\\\\F(x) = \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{3}{x} + \dfrac{3\sqrt[3]{x^4}}{4} + 2x$

Тогда общий вид первообразных для этой функции:

$\boxed{\bf{F(x) = \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{3}{x} + \dfrac{3\sqrt[3]{x^4}}{4} + 2x + C}}$