Question

СРОЧНО ДАЮ 45 БАЛОВ!
Из точек M и K, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой b, опущены
перпендикуляры MM1 и KK1 на эту прямую. Известно, что
MM1 = 5 см, KK1 = 3 см, M1K1 = 4 см. Какое значение суммы MX + XK, где X — точка,
принадлежащая прямой b, MX = XK?

Answer 1

Так, ну, пусть MX = KX = x

Если X между M1 и K1

ΔMM1X: M1X² = MX² - MM1²

              M1X = √(x²-25)

ΔKK1X: K1X² = KX² - KK1²

            K1X = √(x²-9)

M1X + K1X = 4

√(x²-25) + √(x²-9) = 4

Короче, решив это уравнение, получаем, что x = ±5. Значит, MX = MM1, а это невозможно, т.к. ΔMM1X - прямоугольный

Следовательно, X находится за пределами M1K1 (очевидно, за M1, т.к. MM1 > KK1)

Составим новые уравнения:

ΔMM1X: M1X² = MX² - MM1²

              M1X = √(x²-25)

ΔKK1X: K1X² = KX² - KK1²

            K1X = √(x²-9)

Получаем: M1X + 4 = K1X

Короче, поверь мне на слово, снова получаем, что x = ±5. То же противоречие, что и см. выше)

В итоге, единственный возможный случай - это если X совпадает с M1:

MM1(X) = 5

KX = 5

⇒ M1K1 √(25-9) = 4 - всё сходится!

Значит, MX = 5 = KX

MX + KX = 10

(Кстати, в тех двух случаях тоже вышло бы 10, просто построение в тех случаях невозможно (либо я что-то не врубаю))