Question

Помогите решить определенный интеграл

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{x} + 1 = t \\ \sqrt{x} = t - 1 \\ \frac{1}{2 \sqrt{x} } dx = dt \\ dx = 2 \sqrt{x} dt = 2(t - 1)dt \\ t1 = \sqrt{1} + 1 = 2 \\ t2 = \sqrt{0} + 1 = 1 \\ \\ \int\limits^{ 2 } _ {1} \frac{2(t - 1)(t - 1)dt}{t} = 2\int\limits^{ 2 } _ {1} \frac{ {t}^{2} - 2t + 1}{t} dt = \\ = 2\int\limits^{ 2 } _ {1}(t - 2 + \frac{1}{t} )dt = 2( \frac{ {t}^{2} }{2} - 2t + ln |t| ) | ^{ 2 } _ {1} = \\ = 2(2 - 4 + ln(2) - \frac{1}{2} + 2 - ln(1)) = \\ = 2( ln(2) - 0.5) = 2 ln(2) - 1$