Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наименьшей

Answer 1

Пусть катеты $a;b$ тогда    
$a^2+b^2=8^2\ S=frac{ab}{2}\ a=sqrt{64-b^2}\ a>0\ b>0\ S=frac{bsqrt{64-b^2}}{2}$
рассмотрим как функцию 
$b=x\ f(x)=frac{xsqrt{64-x^2}}{2}\ f'(x)=frac{sqrt{64-x^2}}{2}-frac{x^2}{2sqrt{64-x^2}}\ f'(x)=0\ x=sqrt{32}$
теперь очевидно если подставить , при условию что площадь минимальной будет 16 , и катеты при этом будут равны 
$a=b=sqrt{32}$