Question

Из точки A к окружности проведены две касательные: AB и AC (B и С – точки касания). Определите градусную меру дуги BC, если расстояние от точки A до центра окружности в 2 раза больше радиуса окружности.

Answer 1

Ответ:

∪BC = 120°

Объяснение:

Дано: AB, AC - касательные, O - центр окружности, AO = 2OB = 2OC.

Найти: ∪BC - ?

Решение: Так как по теореме радиусы перпендикулярны к касательным, то OB ⊥ AB, OC ⊥ AC. Треугольник ΔBOA = ΔCOA(OB ⊥ AB, OC ⊥ AC) по двум катетам так как OB = OC как радиусы, AO - общая. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBOA. $\cos \angle BOA = \dfrac{BO}{OA} = \dfrac{BO}{2 BO} = \dfrac{1}{2} \Longrightarrow \angle BOA = \arccos(0,5) = 60^{\circ}$.

Так как треугольник ΔBOA = ΔCOA, то соответствующие элементы треугольников равны, тогда угол ∠BOA = ∠COA = 60°.

Угол ∠BOC = ∠BOA + ∠COA = 60° + 60° = 120°. Градусная мера дуги равна центральному углу на который она опирается, тогда ∪BC = ∠BOC = 120°.