Ответы
Задача 1
Дано:
h = 630 км = 630×10³ м
F(тяг. поверхности Земли) = 600 Н
R⊕ = 6370 км = 6370×10³ м
----------------------------------------------------------
Найти:
F - ?
Решение:
В соответствии с законом тяготения выражения силы тяжести для двух случаев могут быть записаны в скалярной форме:
F₁ = GMm/R² F₂ = GMm/(R+h)²
Теперь мы их делим, и мы получим общую силу так:
F = F₂/F₁ = GMm/(R+h)² / GMm/R² = GMm/(R+h)² × R²/GMm = R²/(R+h)² ⇒ F = R²/(R+h)²
И потом мы умножаем на силу тяготения поверхности Земли:
F = R²/(R+h)² × F(тяг. поверхности Земли)
И теперь мы решаем:
F = (6370×10³ м)²/(6370×10³ м + 630×10³ м)² × 600 Н = 40576900×10⁶ м²/(7000×10³ м)² = 40576900×10⁶ м²/49000000×10⁶ м² × 600 Н = 0,8281×600 Н = 496,86 Н ≈ 497 Н
Ответ: F = 497 Н
Задача 2
Дано:
T = 12 лет
T⊕ = 1 год
a⊕ = 1 а.е.
--------------------------
Найти:
a - ?
Решение:
Запишем формулу про третий закон Кеплера:
T²/T⊕² = a³/a⊕³ - Третий закон Кеплера
Так как a⊕ = 1 а.е., а T⊕ = 1 год, то a³ = T², следовательно:
a = ∛T - Среднее расстояние Планеты
a = ∛12² = ∛144 ≈ 5,24148 а.е. ≈ 5,2 а.е. ≈ 5 а.е.
Ответ: a = 5 а.е.
Задача 3
Дано:
T = 8,7 суток
a = 438000 км = 438×10⁶ м
T☾ = 27,3 суток
a☾ = 384000 км = 384×10⁶ м
-------------------------------------------------
Найти:
M♅ - ?
Решение:
Сначала мы запишем формулу про третий обобщенный закон Кеплера:
T²(M+m)/T☾²(M⊕+m☾) = a³/a☾³ - третий обобщенный закон Кеплера
Пренебрегая массами спутника и Луны получим, что:
M/M⊕ = T☾²/T² × a³/a☾³ следовательно мы получаем:
M = T☾²/T² × a³/a☾³ × M⊕ ⇒ M = (T☾/T)² × (a/a☾)³ × M⊕
Теперь решаем:
M = (27,3 суток/8,7 суток)² × (438×10⁶ м/384×10⁶ м)³ × M⊕ ≈ (3,14)² × (1,14)³ × M⊕ ≈ 9,8596 × 1,481544 × M⊕ ≈ 14,61M⊕ ≈ 14,6M⊕
Ответ: M = 14,6M⊕