Question

47. Величины острых углов прямоугольного
треугольника относятся, как 2:3. Найдите угол
между медианой и высотой, проведенных из
вершины прямого угла.
А) 27° B) 150 C) 189 D) 36° E) 16°​

Answer 1

Ответ: 18° ( возможно Вы ошиблись записывая ответы? и в ответе Е 18 °)

Решение:

Дано: ΔАВС, ∠А=90°,∠А:∠В=2:3, АМ- медиана, АН- высота

Найти: ∠МАН-?

Решение:

Пусть ∠В=2х, ∠С=3х, тогда по теореме о сумме острых углов треугольника:

2х+3х=90°;

5х=90°;

х=90°:5;

х=18°.

∠В=2*18°=36°

∠С=3*18°=54°.

Рассмотрим ΔАНС, где ∠Н=90°, ∠С=54°, следовательно

∠НАС=90°-54°=36°.

Так как АМ- медиана, то вокруг треугольника АВС можно описать окружность с центром в точке М и по свойству медианы, проведённой из прямого угла к гипотенузе она равна половине гипотенузы. То есть АМ=ВМ=СМ.

Рассмотрим ΔАВМ, так как АМ=ВМ, то треугольник равнобедренный, следовательно  ∠В=∠АВМ=36° как углы при основании равнобедренного треугольника.

∠МАН=∠А-∠АВМ-НАС=90°-36°-36°=18°