Question

$\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1} } + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1} }$
;
$1 \leqslant a \leqslant 2$

​

Answer 1

1)    $\sqrt{a+2\sqrt{a-1} } +\sqrt{a-2\sqrt{a-1} } =$

$=\sqrt{a-1+1+2\sqrt{a-1} } +\sqrt{a-1+1-2\sqrt{a-1} } =$

$=\sqrt{(a-1)+2\sqrt{a-1}+1 } +\sqrt{(a-1)-2\sqrt{a-1} +1} =$

$=\sqrt{(\sqrt{a-1})^2+2*1\sqrt{a-1}+1^2 } +\sqrt{(\sqrt{a-1})^2-2*1\sqrt{a-1}+1^2 } =$

$=\sqrt{(\sqrt{a-1} +1)^2} +\sqrt{(\sqrt{a-1} -1)^2} =$

$=|\sqrt{a-1} +1| +|\sqrt{a-1} -1|$

2)   Раскроем модули.

Первое слагаемое на промежутке  $1\leq a\leq 2$ положительно, поэтому

$|\sqrt{a-1} +1| =\sqrt{a-1} +1$

Второе слагаемое на промежутке  $1\leq a\leq 2$ отрицательно, поэтому

$|\sqrt{a-1} -1| =-\sqrt{a-1} +1$

3)   Получаем:

$\sqrt{a-1} +1 -(\sqrt{a-1} -1)=\sqrt{a-1} +1 -\sqrt{a-1} +1=2$

Ответ: $2$