Question

решить уравнение.........​

Answer 1

1-й способ. Уравнение имеет вид a²+b²=90, a^2+2ab+b^2-2ab=90;

(a+b)²-2ab=90. При этом $a+b=\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1}=\frac{2x^2}{x^2-1};\ 2ab=\frac{2x^2}{x^2-1},$ поэтому после замены $\frac{2x^2}{x^2-1}=t$ уравнение принимает вид t²-t-90=0; (t-10)(t+9)=0;

откуда уже элементарно находятся корни $x=\pm \frac{\sqrt{5}}{2};\ x=\pm\frac{3}{\sqrt{11}}.$

2-й способ.

Проверяем, что x=0 не является корнем уравнения, после чего преобразуем его к виду $\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\right)^2=90;$ замена $\frac{1}{x}=t;$

$\frac{1}{(t+1)^2}+\frac{1}{(t-1)^2}=90;\ (t-1)^2+(t+1)^2=90(t^2-1)^2;$

$2t^2+2=90(t^2-1)^2;$ получилось биквадратное уравнение, которое все умеют решать с помощью замены t²=z,  но мы решим его чуть-чуть по-другому: t²-1=p; 45p^2-p-2=0; домножим уравнение на 45:

(45p)²-45p-90=0; 45p=q; q²-q-90=0; (q-10)(q+9)=0; далее ясно.