Question

Неопределённый интеграл

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{x + 1}{3 {x}^{2} - 2x - 3 } dx$

Делаем в числителе производную знаменателя: 6х-2

$\frac{1}{6} \int\limits \frac{6x + 6}{3 {x}^{2} - 2x - 3} dx= \frac{1}{6} \int\limits \frac{6x - 2 + 8}{3 {x}^{2} - 2x - 3}dx = \\ = \frac{1}{6} \int\limits \frac{6x - 2}{3 {x}^{2} - 2x - 3} dx + \frac{1}{6} \int\limits \frac{8dx}{3 {x}^{2} - 2x - 3 } = \\ = \frac{1}{6} \int\limits \frac{d(3 {x}^{2} - 2x - 3)}{3 {x}^{2} - 2x - 3 } + \frac{8}{6} \int\limits \frac{dx}{ {( \sqrt{3} x)}^{2} - \sqrt{3}x \times 2 \times \frac{1}{ \sqrt{3} } + \frac{1}{3} - \frac{10}{3} } = \\ = \frac{1}{6} ln( | 3 {x}^{2} - 2x - 3 | ) + \frac{4}{3} \int\limits \frac{dx}{ {( \sqrt{3} x - \frac{1}{ \sqrt{3} }) }^{2} - {( \sqrt{ \frac{10}{3} }) }^{2} } = \\ = \frac{1}{6} ln( |3 {x}^{2} - 2x - 3 | ) + \frac{4}{3} \times \frac{1}{ \sqrt{3} } \int\limits \frac{d( \sqrt{3} x - \frac{1}{ \sqrt{3} }) }{ {( \sqrt{3}x - \frac{1}{ \sqrt{3} } ) }^{2} - {( \sqrt{ \frac{10}{3} } )}^{2} } = \\ = \frac{1}{6} ln( |3 {x}^{2} - 2x - 3| ) + \frac{4}{3 \sqrt{3} } \times \frac{1}{2 \times \sqrt{ \frac{10}{3} } } ln( | \frac{ \sqrt{3} x - \frac{1}{ \sqrt{3} } - \sqrt{ \frac{10}{3} } }{ \sqrt{3}x - \frac{1}{ \sqrt{3} } + \sqrt{ \frac{10}{3} } } | ) + C= \\ = \frac{1}{6} ln( |3 {x}^{2} - 2x - 3 | ) + \frac{2}{3 \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{10} } ln( | \frac{ \frac{1}{ \sqrt{3} }(3x - 1 - \sqrt{10} ) }{ \frac{1}{ \sqrt{3} }(3x - 1 + \sqrt{10} ) } | ) + C= \\ = \frac{1}{6} ln( \sqrt{3 {x}^{2} - 3x - 2 } ) + \frac{2}{3 \sqrt{10} } ln( | \frac{3x - 1 - \sqrt{10} }{3x - 1 + \sqrt{10} } | ) + C$